సంఖ్యామానం అంటే ఏమిటి? సంఖ్యల వర్గాలు, స్థాన విలువ, భాజనీయతా సూత్రాలు (Number System)

Number system place value divisibility rules అనే మూడు భాగాలే సంఖ్యామానం (Number System) లో పరీక్షకు ముఖ్యమైనవి. సంఖ్యలను సహజ, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, అకరణీయ, కరణీయ, వాస్తవ సంఖ్యలుగా వర్గీకరిస్తాం. ఒక అంకె విలువ దాని స్థానాన్ని బట్టి మారుతుంది, భాగహారం చేయకుండానే భాజనీయతా సూత్రాల (Divisibility Rules) తో ఒక సంఖ్య భాగించబడుతుందో లేదో చెప్పవచ్చు.

ఇక్కడ ఉన్న ప్రతి ఉదాహరణను నేను కంప్యూటర్‌లో లెక్కించి సరిచూశాను.

APPSC Group 2 సిలబస్‌లో సంఖ్యామానం ఎక్కడ ఉంది?

APPSC Group 2 స్క్రీనింగ్ టెస్ట్‌లో Number System అనేది Mental Ability (30 మార్కులు) లోని Basic Numeracy భాగంలో మొదటి అంశం. APPSC స్కీమ్ మరియు సిలబస్ ప్రకారం స్క్రీనింగ్ పేపర్ General Studies & Mental Ability, 150 ప్రశ్నలు, 150 నిమిషాలు. ప్రతి తప్పు సమాధానానికి ఆ ప్రశ్న మార్కుల్లో 1/3 వంతు కోత ఉంటుంది.

అంటే ఊహించి గుర్తు పెట్టడం ప్రమాదం.

సంఖ్యల వర్గాలు (Classification of Numbers)

సంఖ్యల వర్గాలు అంటే ఒక సంఖ్య ఏ సమితికి చెందుతుందో చెప్పే విభజన. దశాంశ పద్ధతిలో అంకెలు (Digits) పది: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. వీటితో తయారయ్యేవి సంఖ్యలు (Numbers).

వర్గం	ఏ సంఖ్యలు	ఉదాహరణ
సహజ సంఖ్యలు (Natural, N)	1, 2, 3, …	7, 97
పూర్ణాంకాలు (Whole, W)	0, 1, 2, 3, …	0, 15
పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers, Z)	…, −2, −1, 0, 1, 2, …	−5, 0, 8
అకరణీయ సంఖ్యలు (Rational, Q)	p/q రూపం, q ≠ 0	3/4, −5
కరణీయ సంఖ్యలు (Irrational)	p/q రూపంలో రాయలేనివి	√2, π
వాస్తవ సంఖ్యలు (Real)	అకరణీయ + కరణీయ	పై అన్నీ

సంఖ్యల వర్గాలు ఒకదానిలో ఒకటి: సహజ ⊂ పూర్ణాంకాలు ⊂ పూర్ణ సంఖ్యలు ⊂ అకరణీయ. అకరణీయ, కరణీయ కలిస్తే వాస్తవ సంఖ్యలు.

సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు

సహజ సంఖ్యలు లెక్కపెట్టే సంఖ్యలు, 1 నుంచి మొదలవుతాయి. సహజ సంఖ్యలకు 0 కలిపితే పూర్ణాంకాలు వస్తాయి. Wikipedia (Natural number) ప్రకారం 0 ఉన్న సమితిని whole numbers అంటారు, అలాగే సహజ సంఖ్యలు 0 నుంచి మొదలవుతాయా 1 నుంచా అనే దానిపై రెండు నిర్వచనాలు వాడుకలో ఉన్నాయి.

పూర్ణాంకాలకు రుణ సంఖ్యలు (−1, −2, …) కలిపితే పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers) వస్తాయి. కాబట్టి ప్రతి సహజ సంఖ్య పూర్ణాంకమే, ప్రతి పూర్ణాంకం పూర్ణ సంఖ్యే. తిరగేస్తే నిజం కాదు: −5 పూర్ణ సంఖ్య, కానీ పూర్ణాంకం కాదు.

అకరణీయ, కరణీయ, వాస్తవ సంఖ్యలు

అకరణీయ సంఖ్య అంటే p/q రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్య, ఇక్కడ p, q పూర్ణ సంఖ్యలు, q ≠ 0. Wikipedia (Rational number) ప్రకారం ప్రతి పూర్ణ సంఖ్య అకరణీయమే, ఉదా: −5 = −5/1. అకరణీయ సంఖ్య దశాంశ రూపం అంతమవుతుంది (3/4 = 0.75) లేదా ఒక భాగం మళ్ళీ మళ్ళీ వస్తుంది (1/3 = 0.333…).

కరణీయ సంఖ్యను p/q రూపంలో రాయలేం. NCERT పదో తరగతి Real Numbers √2, √3, √15, π లను ఉదాహరణలుగా ఇస్తుంది. అకరణీయ, కరణీయ సంఖ్యలు కలిస్తే వాస్తవ సంఖ్యలు (Real Numbers) అవుతాయి.

సరి, బేసి సంఖ్యలు (Even and Odd)

సరి సంఖ్య అంటే 2తో పూర్తిగా భాగించబడే పూర్ణ సంఖ్య, బేసి సంఖ్య అంటే 2తో భాగించబడనిది. Wikipedia (Parity) ప్రకారం 0 సరి సంఖ్య. ఒకట్ల స్థానంలో 1, 3, 5, 7, 9 ఉంటే బేసి, 0, 2, 4, 6, 8 ఉంటే సరి.

ఉదాహరణకు 8536 సరి (చివరి అంకె 6), 7309 బేసి (చివరి అంకె 9).

ప్రధాన, సంయుక్త, సహ ప్రధాన సంఖ్యలు

ప్రధాన సంఖ్య (Prime) కి సరిగ్గా రెండు కారణాంకాలు ఉంటాయి: 1 మరియు అదే సంఖ్య. NCERT ఆరో తరగతి Prime Time మొదటి ప్రధాన సంఖ్యలుగా 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ఇస్తుంది. రెండు కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉంటే సంయుక్త సంఖ్య (Composite): 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

1 ప్రధానమూ కాదు, సంయుక్తమూ కాదు, ఎందుకంటే దానికి ఒకే కారణాంకం ఉంది. 2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య. Wikipedia (Prime number) ప్రకారం 100 లోపు 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

ఒక సంఖ్య ప్రధానమో కాదో ఎలా చూడాలి?

ఒక సంఖ్య n ప్రధానమో కాదో తెలుసుకోవడానికి 2 నుంచి √n వరకు ఉన్న సంఖ్యలతో భాగించి చూడాలి. ఏదీ పూర్తిగా భాగించకపోతే n ప్రధాన సంఖ్య.

• 91: √91 అనేది 9, 10 మధ్య ఉంటుంది. 7తో భాగిస్తే 91 = 7 × 13. కాబట్టి 91 ప్రధానం కాదు. పరీక్షలో ఇది పెద్ద ఉచ్చు.
• 97: 2 నుంచి 9 వరకు ఏ సంఖ్యా 97ను భాగించదు. కాబట్టి 97 ప్రధాన సంఖ్య.
• 51, 87, 57: మూడూ 3తో భాగించబడతాయి (51 = 3 × 17, 87 = 3 × 29, 57 = 3 × 19). చూడటానికి ప్రధానంలా ఉన్నా సంయుక్త సంఖ్యలే.
• 119, 143: 119 = 7 × 17, 143 = 11 × 13.

జంట ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin primes): తేడా 2 ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల జంట. ఉదా: 3, 5 మరియు 17, 19.

సహ ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-primes)

రెండు సంఖ్యలకు 1 తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేకపోతే అవి సహ ప్రధాన సంఖ్యలు. NCERT ఉదాహరణ: 15, 39 కి 3 ఉమ్మడి కారణాంకం, కాబట్టి సహ ప్రధానాలు కావు. 4, 9 సహ ప్రధానాలు.

గమనించండి: సహ ప్రధానాలు కావడానికి రెండూ ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరం లేదు. 8, 15 రెండూ సంయుక్త సంఖ్యలు, అయినా వాటికి 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు. 12, 18 కి 6 ఉమ్మడి, 14, 21 కి 7 ఉమ్మడి, కాబట్టి అవి సహ ప్రధానాలు కావు.

Place value, face value: స్థాన విలువ, ముఖ విలువ

ముఖ విలువ (Face Value) అంటే అంకె దానంతట అదే; స్థాన విలువ (Place Value) అంటే ఆ అంకె × అది ఉన్న స్థానం విలువ. Cuemath ఉదాహరణ: 6741లో 6 స్థాన విలువ 6000, 7 స్థాన విలువ 700, 4 స్థాన విలువ 40, 1 స్థాన విలువ 1. ముఖ విలువలు 6, 7, 4, 1.

• 83,762లో 8 స్థాన విలువ 80,000, ముఖ విలువ 8, తేడా 79,992.
• 34678లో 6 స్థాన విలువ 600, ముఖ విలువ 6, తేడా 594.
• 0 స్థాన విలువ ఎక్కడ ఉన్నా 0. ఉదా: 4037లో 0.

భారతీయ స్థాన విలువ పద్ధతి: ఒక పెద్ద ఉదాహరణ

NCERT ఏడో తరగతి భారతీయ పద్ధతిలో కామాలు పెట్టి లక్షలు, కోట్లు విడదీసి రాయడం నేర్పుతుంది. ఉదాహరణ 5,07,23,846:

అంకె	స్థానం	స్థాన విలువ
5	కోట్లు	5,00,00,000
0	పది లక్షలు	0
7	లక్షలు	7,00,000
2	పది వేలు	20,000
3	వేలు	3,000
8	వందలు	800
4	పదులు	40
6	ఒకట్లు	6

ఇక్కడ 7 స్థాన విలువ 7,00,000 (ఏడు లక్షలు). తొందరలో 70,000 లేదా 70,00,000 అని రాసేవాళ్ళు ఎక్కువ. కామాల తర్వాత నుంచి లెక్కపెడితే ఈ పొరపాటు రాదు.

భారతీయ స్థాన విలువ పట్టిక: 7 లక్షల స్థానంలో ఉంది కాబట్టి స్థాన విలువ 7,00,000, ముఖ విలువ మాత్రం 7.

Number system లో place value ఆధారంగా divisibility rules (భాజనీయతా సూత్రాలు)

భాజనీయతా సూత్రం అంటే భాగహారం చేయకుండానే ఒక సంఖ్య మరో సంఖ్యతో భాగించబడుతుందో లేదో చెప్పే చిన్న పరీక్ష. Wikipedia (Divisibility rule) పట్టిక, NCERT పుస్తకాల ఆధారంగా:

భాజకం	సూత్రం	ఉదాహరణ
2	చివరి అంకె 0, 2, 4, 6, 8	8560
3	అంకెల మొత్తం 3తో భాగించబడాలి	636 → 15
4	చివరి రెండు అంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి	8536 → 36
5	చివరి అంకె 0 లేదా 5	495
6	2 మరియు 3 రెండింటితో భాగించబడాలి	1458
8	చివరి మూడు అంకెల సంఖ్య 8తో భాగించబడాలి	14560 → 560
9	అంకెల మొత్తం 9తో భాగించబడాలి	2880 → 18
10	చివరి అంకె 0	130
11	బేసి స్థానాల మొత్తం − సరి స్థానాల మొత్తం = 0 లేదా 11 గుణిజం	918082

ఈ సూత్రాలు ఎందుకు పనిచేస్తాయి?

9, 11 సూత్రాలు స్థాన విలువ మీదే ఆధారపడతాయి. NCERT ఎనిమిదో తరగతి Number Play ఇలా వివరిస్తుంది: అంకెల మొత్తాన్ని ఒక అంకె వచ్చేదాకా కలిపితే, ఆ అంకె 9తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం.

ఉదా: 7309 → 7 + 3 + 0 + 9 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1. కాబట్టి 7309 ను 9తో భాగిస్తే శేషం 1.

11 కోసం NCERT ఉదాహరణ 320185. ఒకట్లు, వందలు, పది వేల స్థానాల అంకెలు (5, 1, 2) కలిపితే 8. పదులు, వేలు, లక్షల స్థానాల అంకెలు (8, 0, 3) కలిపితే 11. తేడా 8 − 11 = −3. కాబట్టి 320185 ఒక 11 గుణిజం కంటే 8 ఎక్కువ, అంటే శేషం 8.

రెండు సూత్రాలు కలిపి వాడటం

ఒక సంఖ్య సహ ప్రధానాలైన రెండు సంఖ్యలతో భాగించబడితే, వాటి లబ్ధంతో కూడా భాగించబడుతుంది. 4, 9 సహ ప్రధానాలు, కాబట్టి 4 మరియు 9 తో భాగించబడే సంఖ్య 36తో భాగించబడుతుంది. 6 కోసం 2, 3 ని, 12 కోసం 3, 4 ని చూసేది ఇదే కారణంతో.

ఉదాహరణకు 2475: అంకెల మొత్తం 18, చివరి అంకె 5, 11 పరీక్షలో 2 − 4 + 7 − 5 = 0. కాబట్టి 2475 అనేది 9, 5, 11 తో భాగించబడుతుంది; 2475 = 99 × 25. అలాగే 7425 = 99 × 75.

పరీక్షలో ఎక్కువగా అడిగేవి, సాధారణ పొరపాట్లు

APPSC లాంటి పరీక్షల్లో ఈ అధ్యాయం నుంచి నిర్వచనాల ఉచ్చులు, సూత్రాల మీద చిన్న లెక్కలు ఎక్కువగా వస్తాయి. ఇవి గుర్తుపెట్టుకోండి:

• 1 ప్రధానమూ కాదు, సంయుక్తమూ కాదు. 2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య.
• 0 సరి సంఖ్య, 0 పూర్ణాంకం, కానీ (1 నుంచి మొదలుపెట్టే నిర్వచనంలో) సహజ సంఖ్య కాదు.
• 91, 51, 87, 57, 119, 143 ప్రధానాల్లా కనిపించే సంయుక్త సంఖ్యలు.
• 100 లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు 25. 21 నుంచి 30 మధ్య 23, 29 మాత్రమే.
• 6, 4 రెండింటితో భాగించబడితే 24తో భాగించబడాలనేది తప్పు: 12 అనేది 6, 4 తో భాగించబడుతుంది కానీ 24తో కాదు. 6, 4 సహ ప్రధానాలు కావు.

నా సలహా: ప్రతి సూత్రాన్ని ఒక సొంత సంఖ్యపై పరీక్షించి, తర్వాత భాగహారం చేసి సరిచూడండి. వారం రోజులు ఇలా చేస్తే సూత్రాలు బట్టీ పట్టాల్సిన పని ఉండదు, చేతికి అలవాటైపోతాయి.

ప్రాక్టీస్ ప్రశ్నలు

1. కింది వాటిలో ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, సంయుక్త సంఖ్యా కాదు అయినది ఏది? (A) 2 (B) 1 (C) 9 (D) 11

సమాధానం

(B) 1. 1కి ఒకే కారణాంకం ఉంది, కాబట్టి NCERT ప్రకారం అది ప్రధానమూ కాదు, సంయుక్తమూ కాదు.

2. 5,07,23,846 లో 7 స్థాన విలువ ఎంత? (A) 7 (B) 70,000 (C) 7,00,000 (D) 70,00,000

సమాధానం

(C) 7,00,000. 7 లక్షల స్థానంలో ఉంది, కాబట్టి 7 × 1,00,000 = 7,00,000.

3. 83,762 లో 8 యొక్క స్థాన విలువకు, ముఖ విలువకు తేడా ఎంత? (A) 79,992 (B) 80,000 (C) 0 (D) 79,990

సమాధానం

(A) 79,992. స్థాన విలువ 80,000, ముఖ విలువ 8; 80,000 − 8 = 79,992.

4. కింది వాటిలో ప్రధాన సంఖ్య ఏది? (A) 51 (B) 87 (C) 91 (D) 97

సమాధానం

(D) 97. 51 = 3 × 17, 87 = 3 × 29, 91 = 7 × 13. 97 ను 2 నుంచి 9 వరకు ఏదీ భాగించదు.

5. కింది జంటల్లో సహ ప్రధాన సంఖ్యలు ఏవి? (A) 15, 39 (B) 8, 15 (C) 12, 18 (D) 14, 21

సమాధానం

(B) 8, 15. వాటికి 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు. మిగతా జంటలకు 3, 6, 7 ఉమ్మడి కారణాంకాలు.

6. 2475 కింది వాటిలో దేనితో భాగించబడుతుంది? (A) 2 (B) 4 (C) 11 (D) 8

సమాధానం

(C) 11. 2 − 4 + 7 − 5 = 0, కాబట్టి 11తో భాగించబడుతుంది. చివరి అంకె 5 బేసి, కాబట్టి 2, 4, 8 తో కాదు.

7. 320185 ను 11తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం? (A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 5

సమాధానం

(C) 8. NCERT పద్ధతిలో 8 − 11 = −3; అంటే 11 గుణిజం కంటే 3 తక్కువ, లేదా 8 ఎక్కువ.

8. 7309 ను 9తో భాగిస్తే శేషం ఎంత? (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 7

సమాధానం

(B) 1. అంకెల మొత్తం 19, తర్వాత 1 + 9 = 10, తర్వాత 1 + 0 = 1. ఆ అంకె 1 యే శేషం.

9. కింది వాటిలో కరణీయ సంఖ్య ఏది? (A) 0.75 (B) √2 (C) −5 (D) 1/3

సమాధానం

(B) √2. √2 ను p/q రూపంలో రాయలేం. 0.75 = 3/4, −5 = −5/1, 1/3 అకరణీయాలు.

10. 1 నుంచి 100 వరకు ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి? (A) 24 (B) 25 (C) 26 (D) 20

సమాధానం

(B) 25. 100 లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు 25: మొదటిది 2, చివరిది 97.

FAQ

1 ప్రధాన సంఖ్యా లేక సంయుక్త సంఖ్యా?

రెండూ కాదు. 1కి ఒకే ఒక కారణాంకం ఉంటుంది, కాబట్టి NCERT ప్రకారం 1 ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, సంయుక్త సంఖ్యా కాదు.

స్థాన విలువకు, ముఖ విలువకు తేడా ఏమిటి?

ముఖ విలువ అంటే అంకె దానంతట అదే. స్థాన విలువ అంటే ఆ అంకె × దాని స్థానం విలువ. 83,762లో 8 ముఖ విలువ 8, స్థాన విలువ 80,000.

0 సరి సంఖ్యా, బేసి సంఖ్యా?

0 సరి సంఖ్య. 2తో భాగించబడే పూర్ణ సంఖ్య సరి సంఖ్య, 0 ను 2తో భాగిస్తే శేషం 0.

11తో భాజనీయతను త్వరగా ఎలా చూడాలి?

బేసి స్థానాల అంకెల మొత్తం నుంచి సరి స్థానాల అంకెల మొత్తం తీసివేయండి. తేడా 0 లేదా 11 గుణిజం అయితే ఆ సంఖ్య 11తో భాగించబడుతుంది. ఉదా: 918,082.

1 నుంచి 100 వరకు ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి?

25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మొదటిది 2, చివరిది 97.

Sources

• APPSC Scheme and Syllabus for Screening and Main Examination, Group-II Services
• NCERT Ganita Prakash Grade 6, Chapter 5: Prime Time
• NCERT Ganita Prakash Grade 8, Chapter 5: Number Play
• NCERT Mathematics Class 10, Chapter 1: Real Numbers
• NCERT Ganita Prakash Grade 7, Chapter 1: Large Numbers Around Us
• Cuemath: Difference Between Place Value and Face Value
• Wikipedia: Divisibility rule
• Wikipedia: Prime number
• Wikipedia: Natural number
• Wikipedia: Rational number
• Wikipedia: Parity (mathematics)